문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 사슬 복합체 (문단 편집) === 단체 사슬 복합체 === 위상 공간을 삼각형이나 사면체 등의 단체(simplex)로 나눈 뒤, 그것이 만들어내는 대수적 구조를 확인하는 방법이다. 정확히 정의하자면, 먼저 [math(n)]-단체는 [math(R^m \left(m>n\right))] 공간에서 [math(n+1)]개의 아핀 독립(그러니까 어떤 3개의 벡터도 일직선 위에 있지 않다는 뜻이다)인 벡터들을 꼭짓점으로 가지는 어떤 도형을 일컫는다. 꼭짓점이 [math(a_0 , a_1 , \cdots, a_n)]으로 되어있다면 이를 [math(\left(a_0 , a_1 , \cdots, a_n\right))]라고 나타낸다. 그 중에서도, 특이 [math(n)]-단체([math(\triangle ^n)])라 함은 [math(R^n)] 공간에서 [math(\left(1,0,\cdots,0\right),\left(0,1,0,\cdots,0\right),\cdots,\left(0,0,\cdots,0,1\right))]을 연결하여 만들어지는 도형을 말한다. 즉, [math(e_i=\left(0,0,\cdots,0,1,0,\cdots,0\right))]([math(i)]번째만 1인 단위벡터)라고 정의하면, [math(\triangle ^n=\left\{c_1 e_1+\cdots+c_n e_n, \forall k,c_k>0, \sum_k c_k \leq 1\right\})]이다. 이제 이런 모든 특이 [math(n)]-단체에서 어떤 위상공간 [math(T)]로 가는 모든 연속함수를 생각한 뒤, 그 함수들로 자유 아벨 군(free abelian group)을 생성하자. 그러면 이것이 특이 [math(n)]-사슬 [math(C_k)]가 된다. 이제 경계 사상 [math(\partial_k : C_k \to C_{k-1})]을 만들어주면 되는데, 이는 [math(n)]-단체의 원소를 하나 제거하여 만든 [math(n-1)]-단체의 교차합(alternating sum)으로 정의된다. 즉, [math(\partial_k c_k\left(a_0, a_1,\cdots, a_n\right)=\sum_i \left(-1\right)^i c_k\left(a_0,\cdots,\hat{a_i},\cdots,a_n\right))]으로 정의된다. (hat 기호는 이 원소를 제외한다는 의미이다.) 그러면 자명(?)하게 [math(\partial_k \circ \partial_{k+1}=0)]가 0인데, 그러므로 호몰로지에 대해서 생각할 수 있다. 이를 특이 호몰로지라고 한다. 특이 호몰로지를 찾는 것은 쉽게 말해서 서로 다른 Bordism 클래스에 있으면서 닫혀있는 도형이 몇개인가를 세는 문제와 같다고 할 수 있다. 예를 들어, 구 [math(S^n \left(n>2\right))]의 경우, 이 구 위에서 그려진 임의의 원을 점으로 줄일 수 있으므로 1번째 호몰로지가 0이 된다. 또한 0번째 호몰로지의 차원은 경로 연결 성분(path-connected component)의 갯수와 같다는 사실이 알려져있다. [[파일:external/upload.wikimedia.org/400px-P1S2all.jpg]] [* 이미지 출처: 위키피디아, [[https://en.wikipedia.org/wiki/Simply_connected_space]] ] [math(n)]번째 특이 호몰로지의 차원 수를 베티 수(betti number)이라고 하며, 이 베티 수의 교차합을 오일러 지표(Euler characteristic)이라고 하는데, 이것이 바로 그 오일러의 다면체 정리에 나오는 [math(\chi=v-e+f)]와 같다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기